今回も穹が書き下ろしてくださっています。
前回記事:がっこうぐらし!10巻考察 NO FUTURE!!についての考察

【coffee break】
今回はExtinctionDayについて大まかな推測をするために漸化式を求めてみようと思う。
本来は連続的に考えてから離散的に考える必要があるが、ここではあくまで推測なのでいきなり離散的に考えてみることにする。
ここで実際のホワイトボードの見てみると…
0b3d7i0f (1)
という風に日数だけ整数値表記になっていたり、α2=0.5のときについて記載がなかったり少し不自然な点がある。
恐らくなのだが、α2=0.5のときのExtinctionDayが整数値ではなかった(例えば12.5日→12日と12時間)のではないかと考えられる。
なので、ここではα2=0.5のときの日数(時間)を推測して、α2を数列として見立て、一般項を求めてみる。

ここで、11-10α2=n (nは整数,1≦n<11)とする。
(ここでは離散的なのでnが整数値をとるときのα2についてだけ考えるものとする。)
9巻の考察資料(表紙の世界地図)では単位時間は1時間であったので、本来は1時間ごと(≒0.042日)に検証しなければいけないが、大まかな推測だけしたいので以下では単位時間は半日(=0.5日)として考える。
そうすると、α2=0.5のときのExtinctionDayとして可能性があるのは、12,12.5,13,13.5,…16.5,17,17.5,18(days)のいずれかが考えられる。
忘れてはいけないのは、ExtinctionDayは元々連続的である(微分方程式で算出する)こと、今回は離散的である(漸化式で算出する)ことで導こうとしているので、この数列はホロノミックな列であることに注意している。
9,10,11,12,19,…、9,10,11,12.5,19,…、…、9,10,11,17.5,19,…、9,10,11,18,19,…と全ての場合で考えてみると、条件を満たす数列は
9,10,11,13.5,19,…だけである。

数列ができたところで、ExtinctionDayを数列{dn}として一般項を求めてみることにする。
例えばα2=0.8、すなわちn=3のとき、d3=9である。
なので、まずはn=1,2(α2=1.0,0.9)のときのdnを求めてみると、d1=1,α2=6.5となる。
数列{dn}の初項は1であることが分かり、1,6.5,9,10,11,13.5,19,…というような数列になる。
数列{dn}の第1階差数列cnを求めてみると、5.5,2.5,1,1,2.5,5.5,…というような数列になる。
さらに第2階差数列{bn}を求めてみると、
-3,-1.5,0,1.5,3,…というような数列になる。
ここまでくると元の数列{dn}が求められるようになる。
階差数列の定義から以下の式が導ける。
bn = c(n+1) - cn …①
cn= d(n+1) -dn …②

①より、数列{bn}は初項-3、公差1.5(=3/2)の等差数列なので、一般bn=(3n/2)-9/2となる。

c
1=11/2より、一般項cn(n≧2)
 
11/2+Σ[k=1,n-1]ck
  =1/4(3n²-21n+40)
(n=1のときでも成立する)

②より、d1=1から、一般項dn(n≧2)は

dn=11/2+Σ[k=1,n-1]ck
    =1/4(n³-12n²+51n-36)
(n=1のときでも成立する)

一般項dnが求まったところでn,α1,α2,-In(1a2)a1

 (≒dI/dt),ExtinctionDayについて表にまとめてみる。
  

 n  α1

 α2 -ln(1-α2)^α1(≒dI/dt)ExtinctionDay(dα)
1611
260.913.86.5
360.89.69
460.77.210
560.65.511
660.54.113.5
760.4319
860.32.129
960.21.345
1060.10.668.5
1160
0


ここで数列{
dn}を関数F(n)として拡張してみる。
F(n)=1/4(n³-12n²+51n-36) に、n=11-10α2を代入すると、
F(α2)=-250α2³+525α2²-375a2+101となる。
定義域0<α2≦1におけるF(α2)のグラフはこのようになる。

JXeq_teu
グラフ1:y=-250x³+525x²-375x+101,<0x1をwolframAlphaにて入力

よって、
α1=6のときのα2とExtinctionDayの関係性について大まかな推測ができる。


あとがき
この結果はあくまでExtinctionDayを求めるための式を簡略的に考えたもので、厳密な式ではない。
例えば、α2=1のとき、これは接触感染確率が1なので、接触すれば必ず感染することを示している。このときのExtinctionDayは1日である。つまり1日で絶滅することになる。
α1=6なので1日に6人と接触することになるので、
1回目の接触で感染者人口は7人 (増加数+6人)
2回目の接触で感染者人口は49人 (増加数+42人)
…となり、
6回目の接触で感染者人口は117649人 (増加数+100842人)となる。
(1日という短期間における感染拡大なので、接触感染以外での人口の増減は考慮しないものとする。)
このように1日で絶滅するということは、単純に全人口が117649人以下になる必要がある。
ちなみに現在の世界人口が約76億人なので、それと比較すると到底及ばない人数である。
例えばの話で、がっこうぐらし!の世界観考察の一つで巡ヶ丘市実験都市みたいな仮説があるとして、巡ヶ丘市が外部から隔離されているとかであれば117649人が巡ヶ丘市の総人口という考え方もできる。アニメ版巡ヶ丘市のモデルとなっているのが横浜市根岸・山手周辺とされていて、根岸・山手を含む横浜市中区の総人口が平成30年6月1日時点で148990人なので割と近い人数ではある。(偶然)
もちろん、原作に登場する聖イシドロス大学の図書館のモデルとなった某大学の図書館は横浜市港北区にあったりするのでやはり単なる偶然でしかない。
この数値結果を参考にして、今後はExtinctionDayについて厳密な式を求めていきたい。

著:穹(@88miracles